February 11, 2015

តើអ្វីជាស្ថិតិ?

ស្ថតិគឺ​​ជាវិធីវិភាគ​សំណុំតួលេខ​ជា​ច្រើន ដើម្បី​ទាញ​យក​​ព័ត៌មាន​​​ពី​ចំនួន​​​ទាំង​​នោះ​​មក​ប្រើប្រាស់​​ ប្រមូល​ផ្ដុំ​ការ​អង្កេត​ជា​ច្រើន ដូចជា​ការ​លក់​ ដែល​ប្រព្រឹត្ត​ឡើង​ដោយ​សហគ្រាស​តាម​ដំណាក់​កាល​នីមួយៗ​។

គេហទំព័រ Wikipedia បាន​ឲ្យ​និយម​ន័យ “ស្ថិតិ” គឺជា​ការ​សិក្សា​ទៅ​លើ​ការ​ប្រមូល ការ​វិភាគ ការ​បក​ស្រាយ​ ការ​​បង្ហាញ​ និង​​ការ​រៀប​ចំ​ទិន្នន័យ។ ការ​អនុវត្ត​​ស្ថិតិ ដូច​ជា​ទាក់​ទង​នឹង​​បញ្ហា​វិទ្យាសាស្ត្រ ឧស្សាហកម្ម ឬ​ក៏​​សង្គម​ គឺ​​ចាំ​​បាច់​ត្រូវ​ចាប់​ផ្តើម​សិក្សាពី​ប៉ូពុយឡាស្យុង ឬដែលគេហៅថាលំហសំណាក (Populatioon)។

វចនានុក្រម Longman Dictionary of Contemporary English បានឲ្យនិយមន័យ “ស្ថិតិ” គឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​ចំនួន​ ដែល​តំណាងឲ្យសេចក្តីពិត ឬការវាស់វែងណាមួយ។ ស្ថិតិ គឺជាវិទ្យាសាស្ត្រ​នៃ​ការ​ប្រមូល ចង​ក្រង និងសិក្សា​ទៅលើចំនួនទាំងនោះ។ 


វចនានុក្រម Oxford English Dictionary បាន​ឲ្យ​និយមន័យ “ស្ថិតិ” គឺជា​ការ​អនុវត្ត ឬ​​ជា​​វិទ្យា​សាស្ត្រ​​នៃ​​ការ​ប្រមូល​ និង​វិភាគ​ទិន្នន័យ​ជា​លេខ​ក្នុង​បរិមាណ​ចំនួន​ច្រើន​ ជា​ពិសេស​​សម្រាប់​​គោល​បំណង​​​នៃ​​ការ​ធ្វើ​សេច​ក្តី​សន្និដ្ឋាន​​រួម​ ដោយ​ផ្អែក​លើ​ទិន្នន័យ ឬ​សំណាក​ដែល​​យក​មក​សិក្សា។
 

វចនានុក្រម Merriam-Webster Dictionary បានឲ្យនិយមន័យ “ស្ថិតិ” គឺជាផ្នែកមួយនៃ​គណិត​វិទ្យា​ ដែល​សិក្សា​ពី​ការ​ប្រមូល​ ការ​វិភាគ ការបកស្រាយ និង​ការបង្ហាញ​នូវ​ទិន្នន័យ​ជាលេខ​។ ស្ថិតិ គឺជា​ការ​ប្រមូល​ទិន្នន័យ​តាម​បែប​បរិមាណ។

វចនានុក្រម Cambridge English Dictionary ឲ្យនិយមន័យ “ស្ថិតិ” គឺជាមុខវិជ្ជាមួយ ដែល​ពាក់​ព័ន្ធ​​នឹង​​​ការ​​​ប្រ​មូល​ និងការ​សិក្សា​ចំនួនតួលេខ ដើម្បី​បង្ហាញ​ព័ត៌មាន​​អំពី​អ្វី​មួយ។

 

February 10, 2015

A Proof That \(e\) Is Transcendental Number

The first proof that the base of the natural logarithms, \(e\), is transcendental dates from 1873. We will now follow the strategy of David Hilbert (1862–1943) who gave a simplification of the original proof of Charles Hermite. The idea is the following:

Assume, for purpose of finding a contradiction, that e is algebraic. Then there exists a finite set of integer coefficients \({c_0},{c_1},{\rm{ }}...,{c_n}\) satisfying the equation:

\({c_0} + {c_1}e + {c_2}{e^2} + ... + {c_n}{e^n} = 0,\) \({c_0},\,{c_n} \ne 0.\)

Now for a positive integer \(k\), we define the following polynomial:

\({f_k}(x) = {x^k}{\left[ {(x - 1) \cdots (x - n)} \right]^{k + 1}},\)

and multiply both sides of the above equation by

\(\int_0^\infty {{f_k}} {e^{ - x}}{\mkern 1mu} dx,\)